"離散數學"課程是計算機科學與技術專業的一門很重要的專業基礎課，是研究離散量結構及其相互關系的一門科學。這門課程既具有深刻的理論基礎，又對實踐具有很強的指導意義。通過這門課程的學習，可以培養學生嚴密的邏輯推理的能力和嚴格的證明能力，從而能夠提高學生的抽象思維能力。為計算機科學與技術專業后續專業課程的學習打下堅實的理論基礎。然而，正由于這門課程的理論性強，作業量大，作業題目具有一定難度，并且缺乏相應的實驗幫助對定理以及證明的理解，導致學生學習難度大，學習熱情低，考試成績不夠理想。學生不理解這些理論知識背后有哪些重要應用，因此探討創新型的教學方法，在講授理論知識的同時設計必要的上機實驗，并講解離散數學與實際應用之間的聯系，能夠提高學生的學習興趣和主動學習的積極性，對于提高教學質量，培養學生學習能力有著積極的作用。
1 離散數學知識結構
離散數學[1]教學大綱中要求的講解章節有第一篇數理邏輯，第二篇集合論，第三篇代數系統和第四篇圖論。這四篇內容相對獨立，但又有著千絲萬縷的聯系。如圖 1 所示，在這四篇內容中，數理邏輯為集合論、代數系統以及圖論提供了證明方法。集合論為代數系統和圖論提供數據結構。另外在集合論中集合之間的子集關系證明，以及關系的性質證明需要用到數理邏輯中蘊涵式的證明思路。集合論中關系的性質以及特殊的二元關系等章節為代數系統中陪集與拉格朗日定理的證明、同態與同構的證明提供了理論基礎。
代數系統的同構又為理解圖的同構提供基礎。由此可見，離散數學是理論嚴密，邏輯性強的課程。這為初學的學生提出了巨大的挑戰。為了能夠培養學生的抽象思維能力，需要解決課堂教學、課后實驗以及離散數學在計算機科學中的前沿應用這三個問題。從而能夠讓學生明白所學的課程的重要性，從而提高學生的自身的學習積極性和主動性。
2 課堂講授策略
課堂講授是學生學習的主要方式，要充分發揮教師的主導作用，用教學內容將學生吸引，讓學生跟著教師的思路，這樣才能起到事半功倍的作用[2].然而，這門課程的內容具有以下特點：知識點雜，定理繁多，證明量大。這就決定了教師授課容易陷入冗長的定理證明中，從而讓學生覺得乏味枯燥，不能夠有效地接受知識。因此采用相應的講授策略和教學技巧是很有必要的[3].
2.1 定義講解---舉例引入
離散數學課程定義很多，讓學生記住繁多的數學定義不能靠死記硬背，這樣不但記不牢，而且妨礙靈活應用。采用舉例引入的方法能幫助學生記憶。例如謂詞邏輯的引入。
為了引入謂詞的概念，可以讓學生在命題邏輯的知識背景下翻譯并推理"所有人都是要死的，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底是要死的".該命題是一個永真命題，但是在命題邏輯的知識下卻并非永真。學生就會感到困惑，為什么這么淺顯的推理卻在命題邏輯中推不出來。教師這時可以啟發學生，從而得到推理不出的原因，并引出謂詞的概念。再比如閉包的定義："設 R 是 X 上的二元關系，如果有另一個關系R' 滿足：a） R' 是自反的（對稱的，可傳遞的）；b） R'勐R;c）對于任何自反的（對稱的，可傳遞的）關系 R'',如果有 R''勐R,就有 R''勐R'.則稱關系 R' 為 R 的自反（對稱，傳遞）閉包".
該定義比較晦澀，初學的學生很難明白具體什么是閉包。教師可以以舉例方式引出該定義：首先舉出一個關系 R,讓學生們判斷該關系是否有自反性，如果沒有自反性，則讓學生以添加的序偶的方式來使得 R 具有自反性質從而得到 R',再繼續添加序偶，仍然具有自反性，從而得到 R''.進而總結自反閉包就是給不具有自反性質的關系添加序偶，而添加序偶的數量要求"不多不少，剛剛好。"并可以用一句話來概括自反閉包的定義：包含 R 的具有自反性質的最小二元關系。對稱閉包，傳遞閉包具有類似定義。
2.2 定義理解---重視概念之間的互相聯系
離散數學中很多概念之間都有聯系，如果割裂來看，它們可能在不同部分，不同章節中，但若能夠將這些概念聯系起來，能很好幫助學生來理解，有助于學生融會貫通。例如關系的傳遞性和關系的復合運算?？梢酝ㄟ^關系的復合運算來理解傳遞閉包。R2=R○R 代表關系 R 自己和自己做復合運算，如果用有向圖來表示關系 R,那么 R2代表有向圖當中所有長度為 2 的路。R3則代表所有長度為 3 的路，Rn代表所有長度為 n 的路。而關系 R 的傳遞閉包定義為 t （R）=R∪R2∪R3∪……，從而學生根據復合關系就能理解傳遞閉包就是給關系 R 中添加序偶，添加關系 R 中所有長度為 2 的路，長度為 3 的路等等。
2.3 定理證明---分析問題實質
離散數學課程中有許多定理需要證明，而課后習題又有許多證明題。老師上課容易陷入大段的定理證明，學生如果跟不上思路，容易不知所云，而且覺得枯燥無味。課后習題的證明題目也是學生學習的難點。所以對于定理證明需要分析問題的實質，從實質出發總結出一類問題的證明。例如："如果關系 R 和 S 是自反、對稱、傳遞的，證明R∩S 亦是自反、對稱、傳遞的".這個問題是典型的關系性質的證明。教師可以以此總結出證明此類問題的一般方法。根據自反性的定義為"關系 R 是自反的，當且僅當",由于該定義為一個條件式，要證明條件式為真，根據命題邏輯中的蘊含式的推證方法，只需要假設前提為真，推出結論為真，條件式即可證明為真。所以可以假設集合中每個元素 x,只要證明
3 增加課外實踐環節
離散數學給學生的感覺是理論很強而實踐不足，學生覺得老師都在"紙上談兵",學的知識離實際應用很遠，這就不能調動學生學習的積極性和學習熱情。教師可以給學生適當的補充一些課外上機練習，用巧妙的上機實踐題目提高學生的學習熱情，既鍛煉了編程能力，又鞏固了課堂的教學內容[4].
比如在邏輯部分可以讓學生練習命題演算的合式公式判定，根據合式公式的定義，判定輸入的公式是否為合法的命題演算公式。還可以讓學生嘗試自動真值表生成。計算機自動生成合法的命題公式的真值表等。在集合論部分可以讓學生根據關系生成關系矩陣和關系圖。同時根據關系矩陣判定某個關系是否具有自反性、對稱性、傳遞性。根據關系矩陣求某個關系的自反、對稱、傳遞閉包等。
在圖論部分可根據圖的鄰接矩陣采用 warshall 算法求圖的可達性矩陣，判斷圖是否連通圖，若不連通則具有多少個連通分支，求任意兩點的最短距離，根據鄰接矩陣判定一個給定的圖是否為歐拉圖、漢密爾頓圖。
4 離散數學基本知識在計算機學科前沿中的應用
離散數學基本知識在計算機學科前沿中的應用是學生在學習"離散數學"這門課程中最感興趣的地方。教師只有將這一部分給學生進行充分說明才能有效的調動學生的學習積極性。教師可在每章的最后給學生補充相關的內容，讓學生明白學有所用。以下以數理邏輯和圖論為例說明基本知識的應用。
4.1 數理邏輯
與數理邏輯相結合的計算機前沿研究非常多。其中最主要的就是人工智能。在人工智能的眾多應用中，構建專家系統以及自然語言理解就是最為常見的應用。構建專家系統或者進行自然語言理解時有一門語言就是基于邏輯學的，那就是 Prolog[5].Prolog（Programming in Logic 的縮寫）是一種邏輯編程語言，它建立在邏輯學的理論基礎之上，其編程方法更像是使用邏輯的語言來描述程序。該語言能夠很好地對應于謂詞邏輯中的謂詞定義以及推理規則等內容。通過 Prolog 語言的舉例讓學生明白理論知識在實際應用中的表達方式，通過自己學到的理論知識，能夠構建簡單的專家系統的事實和推理規則，從而提高學生的學習興趣。
4.2 圖論
圖論是應用數學的分支，是一門既古老又現代的科學。
圖論中有許多經典的算法，體現著數學家的智慧。在計算機前沿研究中圖論與三維圖形處理有著緊密的聯系。三維網格模型[6]是物體的多邊形表示，通常用計算機或者其他視頻設備進行顯示。最常用的網格為三角網格。即一個數字的三維物體可以表示為多個三角形的點，邊的連接關系構成的無向圖，如圖 3 所示。
根據圖論的基本知識，由鄰接矩陣和可達性矩陣可判定三維網格模型是否連通，以及相應的連通分支。通過鄰接矩陣可求三維網格模型上的某個頂點的鄰域頂點。定義每個三角面片中每條邊的權值后可根據 Floyd-Warshall 算法求解三維網格模型上任意兩點間的最短路徑。對于"離散數學"在計算機前沿研究中的應用知識的補充，能夠有效地激發出學生學習這門課程的積極性，了解這門課程的重要性。
這比單純的說教更具體、更有效。
5 結論
"離散數學"課程是計算機科學與技術專業的專業基礎課，具有理論要求高、邏輯性強的特點。本文針對學生在學習過程中所表現出的理解慢、不會用、成績差、熱情低的問題提出了具有針對性和實際操作可行性的一些具體措施。從理論、實踐和前沿應用上提出了《離散數學》創新教學思路。著眼于學生的學習積極性的激發，在加強教師教的同時，使學生切實地認識到這門課程的重要性，從而能夠改進教學效果和學生的學習成績。
參考文獻：
[1] 左孝凌，李為監，劉永才。離散數學[M].上海：上?？茖W技術文獻出版社，2004.
[2] 屈婉玲，王元元，傅彥，張桂蕓".離散數學"課程教學實施方案[J].中國大學教學，2011（1）。
[3] 譚作文。離散數學課程中實驗教學探討[J].計算機教育，2010（9）。
[4] 徐鳳生。離散數學 實驗教學探討[J].計算機時代，2008（2）。
[5] 鄭進遠。面向對象的 Visual?Prolog 及其在專家系統的研究與應用[D].貴陽：貴州大學， 2007.
[6] 李洪安。三維模型檢索及相關方法研究[D].西安：西北大學，2014.
